INICIOEjercicios resueltos de triángulos cualesquiera II:
Puntos inaccesibles y problemas geométricos
1) Encuentra la superficie de una parcela que tiene forma de cuadrilátero como la figura, en el que se conocen las siguientes medidas:
a) Lados: AB = 9 m BC = 12 m CD = 6 m AD = 8 m
b) Diagonal: BD = 15 m
2) Calcular los lados de un paralelogramo cuyas diagonales miden 6 cm y 5 cm y el ángulo que forma es de 35o 42' 32''
3) Hallar las diagonales de un paralelogramo ABCD cuyo lado AB mide 16 cm y el lado AD mide 12 cm, y el ángulo A = 40o 2' 12''
4) Dos circunferencias cuyos radios son 10 y 12 cm se cortan. El ángulo que forman las tangentes respectivas en el punto de intersección mide 40o. Halla la distancia entre los dos centros de la circunferencia.
5) Dos circunferencias son tangentes exteriores y sus radios miden 8 y 5 m. Halla el ángulo 2α que forman sus tangentes comunes.
6) Las tangentes comunes a dos circunferencias secantes de 2 y 3 cm de radio forman un ángulo de 36o. Calcula la distancia que hay entre los centros de las circunferencias.
7) Un solar tiene forma de triángulo y se conocen dos lados que miden 36 m y 46 m, y el ángulo que forman es de 125o. El metro cuadrado vale 100 €. Calcula el valor del solar.
8) Se quiere calcular la distancia AC entre una casa y un árbol, separados por un río. Para ello nos separamos una distancia AB = 100 m, midiendo los ángulos CAB = 52o y CBA = 42o
9) Para hallar la distancia entre dos puntos inaccesibles C y D (por ejemplo la distancia entre dos barcos, entre los dos picos de una cordillera o entre dos árboles inaccesibles por un rio) fijamos dos puntos A y B tales que AB = 500 m y medimos los siguientes ángulos con el teodolito:
CAD = 50o DAB = 63o ABC = 38o CBD = 57o
Ejercicios resueltos de triángulos cualesquiera I
1) Encuentra la superficie de una parcela que tiene forma de cuadrilátero como la figura, en el que se conocen las siguientes medidas:
a) Lados: AB = 9 m BC = 12 m CD = 6 m AD = 8 m
b) Diagonal: BD = 15 m
Calculamos en primer lugar el área A1 definida por el triángulo ABD:
A continuación el área del segundo triángulo, A2 definido por BCD:
Por lo tanto, el área del cuadrilátero sería:
2) Calcular los lados de un paralelogramo cuyas diagonales miden 6 cm y 5 cm y el ángulo que forma es de 35o 42' 32''
Partimos de la propiedad de que la diagonales de un paralelogramo se cortan por su punto medio:
3) Hallar las diagonales de un paralelogramo ABCD cuyo lado AB mide 16 cm y el lado AD mide 12 cm, y el ángulo A = 40o 2' 12''
4) Dos circunferencias cuyos radios son 10 y 12 cm se cortan. El ángulo que forman las tangentes respectivas en el punto de intersección mide 40o. Halla la distancia entre los dos centros de la circunferencia.
Aplicando el teorema del coseno en el triángulo OPO' tenemos que:
5) Dos circunferencias son tangentes exteriores y sus radios miden 8 y 5 m. Halla el ángulo 2α que forman sus tangentes comunes.
Una vez conocido el valor de x calculamos el ángulo α :
6) Las tangentes comunes a dos circunferencias secantes de 2 y 3 cm de radio forman un ángulo de 36o. Calcula la distancia que hay entre los centros de las circunferencias.
El sistema de ecuaciones resulta de la siguiente forma:
Despejamos la incógnita x de la primera ecuación:
Sustituimos el valor de x en la primera ecuación:
7) Un solar tiene forma de triángulo y se conocen dos lados que miden 36 m y 46 m, y el ángulo que forman es de 125o. El metro cuadrado vale 100 €. Calcula el valor del solar.
Si conocemos dos lados y el ángulo que forman entre ellos podemos calcular el área directamente:
8) Se quiere calcular la distancia AC entre una casa y un árbol, separados por un río. Para ello nos separamos una distancia AB = 100 m, midiendo los ángulos CAB = 52o y CBA = 42o
Como los lados de un triángulo suman 180o, tenemos que:
Calculamos la distancia AC aplicando el teorema del seno:
9) Para hallar la distancia entre dos puntos inaccesibles C y D (por ejemplo la distancia entre dos barcos, entre los dos picos de una cordillera o entre dos árboles inaccesibles por un rio) fijamos dos puntos A y B tales que AB = 500 m y medimos los siguientes ángulos con el teodolito:
CAD = 50o DAB = 63o ABC = 38o CBD = 57o
Como los ángulos de un triángulo suman 180o, podemos calcular los ángulos ACB y ADB:
En el triángulo ABC se calcula AC aplicando el teorema del seno:
Aplicamos también el teorema del seno para calcular el lado AD en el triángulo ABD: seno:
En último lugar mediante el teorema del coseno se calcula el lado CD en el triángulo ACD:
