Ejercicios resueltos de puntos, vectores y problemas geométricos
1-a ) Dados los puntos A(-5, 1) y B(1, 3) , calcula el punto medio del segmento AB.
1-b ) Las coordenadas del punto medio del segemento AB son ( 3 , 5 ). Halla las del punto B siendo A ( 2 , 9 ).
2 ) Dado el punto A ( 3 , 2 ), halla las coordenadas de otro punto B sabiendo que se encuentra en el eje de ordenadas y que dista 5 unidades de A.
3 ) Los vértices de un triángulo son A ( 1 , 2 ) ; B ( 6 , 2 ) y C ( 4 , 6 ). Calcula las longitudes de sus lados.
4 - a ) Halla los puntos que dividen al segmento de extremos A(-2, 3) y B(6,2) en tres partes iguales.
4 - b ) Dados los puntos M(-1, 7) y N(5, 4) , hallar un punto P en el segmento MN tal que la distancia de M a P sea la mitad de la distancia de P a N .
4 - c ) Sabiendo que A(2, 4) y C(6, 0) , hallar las coordenadas del punto B del modo que AB = (1/4)AC .
4 - d ) Divide en 5 partes iguales el segmento que tiene por extremos A = ( -5 , 1 ) y B ( 5 , 6 ).
5 ) Dado los puntos A ( -3 , 5 ) y B ( 3 , 2 ) calcular las coordenadas del punto del segmento AB cuya distancia a A es el doble de su distancia a B.
6 ) Dados los puntos A(0, 3), B(3, 4), C(1, 2) y D(4, -1), comprueba que el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo.
7 ) Dados los puntos A(5, 5), B(2, 4), C(4, -2) halla las coordenadas del punto D , para que el cuadrilátero ABCD sea un paralelogramo.
8 ) Dados los puntos A(3, -2), B(1, 3), C(-6, 0) halla el punto D de modo que ABCD sea un paralelogramo.
9 ) Sea ABC un triángulo equilátero cuyos vectores son:
Calcular los ángulos que forman los vectores u y -v ; v y w ; w y u
10 ) Los puntos A, B, C, D son los vértices de un paralelogramo rectángulo, siendo:
Calcular los ángulos que forman los vectores u y w ; v y x ; u y w
11 ) Los puntos A, B, C, D son los vértices de un cuadrado, siendo:
Calcular los ángulos que forman los vectores u y w ; v y w ; -u y v
12 ) En el triángulo equilatero de la figura de 5 cm de lado, se consideran los siguientes vectores:
Halla u·v , v·w y w·u
13 ) En una circunferencia de centro O y de radio 7 cm, se inscribe un hexágono regular de vértices A ,B , C D , E , F. Calcula los siguientes productos:
14 ) La figura ABCD rd un rombo de 4 cm y ángulos 60º y 120º hallar:
15 ) Dado el triángulo de vértices A (1,-1), B (3,3) y C (5,-2):
a ) Hallar la medida de los lados y su perímetro.
b ) Halla la medida de los ángulos.
16 ) Un triángulo equilátero de vértices A, B y C tiene de lado 8 unidades. Además tiene otros puntos M, N y P que son los puntos medios de los lados de AB, BC y CA respectivamente. Hallar los siguientes productos escalares:
17 ) Dados los vectores u = ( 4 , 3 ) y v = ( 12 , 5 ) halal el ángulo que forman las siguientes parejas:
1-a ) Dados los puntos A(-5, 1) y B(1, 3) , calcula el punto medio del segmento AB.
1-b ) Las coordenadas del punto medio del segemento AB son ( 3 , 5 ). Halla las del punto B siendo A ( 2 , 9 ).
2 ) Dado el punto A ( 3 , 2 ), halla las coordenadas de otro punto B sabiendo que se encuentra en el eje de ordenadas y que dista 5 unidades de A.
3 ) Los vértices de un triángulo son A ( 1 , 2 ) ; B ( 6 , 2 ) y C ( 4 , 6 ). Calcula las longitudes de sus lados.
4 - A ) Halla los puntos que dividen al segmento de extremos A (-2, 3) y B (6,2) en tres partes iguales.
4 - B ) Dados los puntos M(-1, 7) y N(5, 4) , hallar un punto P en el segmento MN tal que la distancia de M a P sea la mitad de la distancia de P a N .
4 - C ) Sabiendo que A(2, 4) y C(6, 0) , hallar las coordenadas del punto B del modo que AB = (1/4)AC .
4 - D ) Divide en 5 partes iguales el segmento que tiene por extremos A(-5, 1) y B(5, 6).
5 ) Dado los puntos A ( -3 , 5 ) y B ( 3 , 2 ) calcular las coordenadas del punto del segmento AB cuya distancia a A es el doble de su distancia a B.
6 ) Dados los puntos A(0, 3), B(3, 4), C(1, 2) y D(4, -1), comprueba que el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo.
7 ) Dados los puntos A(5, 5), B(2, 4), C(4, -2) halla las coordenadas del punto D , para que el cuadrilátero ABCD sea un paralelogramo.
8 ) Dados los puntos A(3, -2), B(1, 3), C(-6, 0) halla el punto D de modo que ABCD sea un paralelogramo.
9 ) Sea ABC un triángulo equilátero cuyos vectores son:
Calcular los ángulos que forman los vectores u y -v ; v y w ; w y u
10 ) Los puntos A, B, C, D son los vértices de un paralelogramo rectángulo, siendo:
Calcular los ángulos que forman los vectores u y w ; v y x ; u y w
11 ) Los puntos A, B, C, D son los vértices de un cuadrado, siendo:
Calcular los ángulos que forman los vectores u y w ; v y w ; -u y v
12 ) En el triángulo equilatero de la figura de 5 cm de lado, se consideran los siguientes vectores:
Halla u·v , v·w y w·u
13 ) En una circunferencia de centro O y de radio 7 cm, se inscribe un hexágono regular de vértices A ,B , C D , E , F. Calcula los siguientes productos:
14 ) La figura ABCD rd un rombo de 4 cm y ángulos 60º y 120º hallar:
15 ) Dado el triángulo de vértices A (1,-1), B (3,3) y C (5,-2):
a ) Hallar la medida de los lados y su perímetro.
b ) Halla la medida de los ángulos.
16 ) Un triángulo equilátero de vértices A, B y C tiene de lado 8 unidades. Además tiene otros puntos M, N y P que son los puntos medios de los lados de AB, BC y CA respectivamente. Hallar los siguientes productos escalares:
17 ) Dados los vectores u = ( 4 , 3 ) y v = ( 12 , 5 ) halal el ángulo que forman las siguientes parejas:
