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Problemas resueltos de traslaciones de la parábola.

1)    Representa gráficamente la función  f (x) = 3x 2  y, a partir de ella, dibuja la gráficas de la función  g (x) = 3 ( x - 2 ) 2

2)    Representa gráficamente la función  f (x) = 3x y, a partir de ella, dibuja la gráficas de la función  g (x) = - 3( x + 4 ) 2 - 2

3)     Representa gráficamente la función  f (x) = 3x y, a partir de ella, dibuja la gráficas de la función  g (x) = 3x 2 + 5

4)     Representa gráficamente la función  f (x) = 3x y, a partir de ella, dibuja la gráficas de la función  g (x) = 3( x - 1 ) 2 + 3

5)    Escribe las expresiones algebraicas de las siguientes tres parábolas :
a)    Resulta de trasladar la parábola  f (x) = 6x 2  horizontalmente  2  unidades a la derecha y verticalmente  3  unidades hacia abajo.
b)    Su vértice es el punto  ( 2, 1 )  y pasa por el punto  ( 0, 5 )
c)    Es simétrica respecto al eje  Y  y pasa por el punto  ( 0, 2 )

6)    Compara la función   f (x) = 3( x - 4 ) 2 + 2   con la función   g (x) = 3x 2

7)    Obtener la expresión algebraica de la parábola siguiente :

ejemplo grafico encontrar expresion algebraica traslacion parabola

1)    Representa gráficamente la función  f (x) = 3x 2  y, a partir de ella, dibuja la gráficas de la función  g (x) = 3 ( x - 2 ) 2


ejemplo traslacion horizontal parabola   



La función  g (x)  es de la forma  g (x) = a ( x - p) 2,  con  p > 0.  Es el resultado de trasladar  p  unidades hacia la derecha la función  f (x) = 3x 2.  El vértice de la función se encuentra ahora en el punto  V ( 0, 2 )


2)    Representa gráficamente la función  f (x) = 3x y, a partir de ella, dibuja la gráficas de la función  g (x) = - 3( x + 4 ) 2 - 2


traslacion horizontal y vertical de una parabola   



La función  g (x)  es de la forma  g (x) = a ( x - p ) 2 + q,  con  p < 0,  q < 0  y  a < 0.  En este caso, la función  f (x) = 3x 2  se traslada horizontalmente  4  unidades hacia la izquierda y  2  unidades hacia abajo. Como  a < 0,  la función  g (x)  es cóncava. El vértice de la función se encuentra ahora en el punto  V ( - 4, - 2 )


3)     Representa gráficamente la función  f (x) = 3x y, a partir de ella, dibuja la gráficas de la función  g (x) = 3x 2 + 5


traslacion vertical de una parabola

La función  g (x)  es de la forma  g (x) = a x 2 + q,  con  q > 0.  En este caso, la función  f (x) = 3x 2  se traslada verticalmente  5  unidades hacia arriba. El vértice de la función se encuentra ahora en el punto  V ( 0, 5 )


4)     Representa gráficamente la función  f (x) = 3x y, a partir de ella, dibuja la gráficas de la función  g (x) = 3( x - 1 ) 2 + 3


  

La función  g (x)  es de la forma  g (x) = a ( x - p) 2 + q,  con  p > 0  y  q > 0.  En etse caso, la parábola  f (x) = 3x 2  se traslada horizontalmente  1  unidad hacia la derecha y  3  unidades verticalmente hacia arriba. El vértice de la función se encuentra ahora en el punto  V ( 1, 3 )


5)    Escribe las expresiones algebraicas de las siguientes tres parábolas :
a)    Resulta de trasladar la parábola  f (x) = 6x 2  horizontalmente  2  unidades a la derecha y verticalmente  3  unidades hacia abajo.
b)    Su vértice es el punto  ( 2, 1 )  y pasa por el punto  ( 0, 5 )
c)    Es simétrica respecto al eje  Y  y pasa por el punto  ( 0, 2 )


a)
Como trasladamos vertical y horizontalmente la función   f (x) = 6x 2,   la función resultante tendrá la forma   g (x) = 6 ( x - p ) 2 + q.   p = 2   por trasladarse horizontalmente hacia la derecha y  q  = - 3   por trasladarse verticalmente hacia abajo.

La expresión algebraica de la parábola que buscamos es :

g (x) = 6 ( x - 2) 2 - 3


b)
Escribimos la expresión algebraica de la función   g (x) = a ( x - p ) 2 + q   con vértice   ( 2, 1 )

g (x) = a ( x - 2 ) 2 + 1

Como pasa por el punto   ( 0, 5 ),   lo sustituimos en la expresión algebraica para obtener el valor de   a :

5 = a ( 0 - 2 ) 2 + 1     →     5 = 4 · a + 1     →     4 · 1 = 4    →    a = 1

La expresión algebraica de la parábola que nos piden es :

g (x) = ( x - 2 ) 2 + 1


c)
Al ser simétrica respecto al eje   Y   la función   g (x)   tiene que ser de la foma   g (x) = a x 2 + q.

Como pasa por el punto   ( 0, 2 ),   y es simétrica al eje   Y,   entonces su vértice ha de ser ese punto.

g (x) = a x 2 + 2

Cualquier función de esa forma cumple las condiciones, ya que el valor   a   puede tomar cualquier valor.

6)    Compara la función   f (x) = 3( x - 4 ) 2 + 2   con la función   g (x) = 3x 2


La gráfica de la función   f (x) = 3( x - 4 ) 2 + 2   resulta de trasladar verticalmente   2   unidades y horizontalmente   4   unidades la gráfica de la función   g (x) = 3x 2.   El vértice de la función   f (x)   se encuentra ahora en el punto  V ( 4, 2 ).


ejemplo traslacion horizontal y vertical de una parabola

7)    Obtener la expresión algebraica de la parábola siguiente :

ejemplo grafico encontrar expresion algebraica traslacion parabola


En primer lugar escribimos la expresión algebraica de la parábola, teniendo en cuenta para ello el vértice de la misma.

f (x) = a(x - p) 2 + q     →     f (x) = a ( x + 3 ) 2 - 2

En segundo lugar tomamos un punto cualquiera de la función, en este caso el punto  P ( 0, - 5 ),  punto de corte con el eje  Y,  y lo sustituimos en la expresión algebraica de la función :

f (x) = a ( x + 3 ) 2 - 2     →     - 5 = a ( 0 + 3 ) 2 - 2     →     - 5 = 9 · a - 2     →     a =

La expresión algebraica de la parábola de la gráfica es :

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