INICIOEjercicios resueltos de funciones racionales
Representa la siguiente función racional con todas sus características y halla la constante k de proporcionalidad inversa:
y =5/x
k = 5
1) Tipo de función: es una función racional de proporcionalidad inversa, cuya gráfica corresponde a una hipérbola equilátera.
2) Dominio: como es una función racional, Dom(f) = R - {0} .
3) Recorrido o imagen: Im(f) = (- ∞, 0) ∪ (0, + ∞) .
4) Continuidad: es discontinua en x = 0 .
5) Simetría:
f(- x) = 5/(- x) = - (5/x) = - f(x)
La función f es simétrica impar.
6) Corte con los ejes:
Las funciones racionales de proporcionalidad inversa no corta a los ejes.
7) Signo:
Como k > 0 es negativa en (- ∞, 0) y positiva en (0, + ∞) .
8) Monotonía:
Como k > 0 la función es decreciente en: (- ∞, 0) ∪ (0, + ∞)
9) Máximos y mínimos relativos:
La función no tiene ni máximos ni mínimos.
10) Curvatura y puntos de inflexión:
Como k > 0 , la función es convexa en (- ∞ 0) y concava en (0, + ∞) .
11) Asíntotas:
La función tiene una asíntota horizontal en y = 0 .
La función tiene una asíntota vertical en x = 0
(valor que anula al denominador)
12) Acotación:
La función no está acotada ni superiormente ni inferiormente.
Como la gráfica es una hipérbola equilátera, cada punto de la gráfica forma con el punto donde se cortan las asíntotas, un rectángulo de área 5 unidades cuadradas.
Representa la siguiente función racional con todas sus características y halla la constante k de proporcionalidad inversa:
y = - 2/x
k = - 2
1) Tipo de función: es una función racional de proporcionalidad inversa, cuya gráfica corresponde a una hipérbola equilátera.
2) Dominio: como es una función racional, Dom(f) = R - {0} .
3) Recorrido o imagen: Im(f) = (- ∞, 0) ∪ (0, + ∞) .
4) Continuidad: es discontinua en x = 0 .
5) Simetría:
f(- x) = -2/(- x) = 2/x = - f(x)
La función f es simétrica impar.
6) Corte con los ejes:
Las funciones racionales de proporcionalidad inversa no corta a los ejes.
7) Signo:
Como k < 0 es negativa en (- ∞, 0) y positiva en (0, + ∞) .
8) Monotonía:
Como k < 0 la función es creciente en: (- ∞, 0) ∪ (0, + ∞)
9) Máximos y mínimos relativos:
La función no tiene ni máximos ni mínimos.
10) Curvatura y puntos de inflexión:
Como k < 0 , la función es concava en (- ∞ 0) y convexa en (0, + ∞) .
11) Asíntotas:
La función tiene una asíntota horizontal en y = 0 .
La función tiene una asíntota vertical en x = 0
(valor que anula al denominador)
12) Acotación:
La función no está acotada ni superiormente ni inferiormente.
Como la gráfica es una hipérbola equilátera, cada punto de la gráfica forma con el punto donde se cortan las asíntotas, un rectángulo de área 2 unidades cuadradas.
Dibuja la siguiente hipérbola y sus asíntotas y calcula la constante k : y = (x - 3) / (x + 1)
Podemos expresar la función original de la siguiente forma :
En primer lugar estudiamos las asíntotas de la función.
El punto x = - 1 no pertenece al dominio de la función. Estudiamos ahora la tendencia de la función por cada uno de los lados del punto x = - 1.
| x | - 1,1 | - 1,01 | - 1,001 | - 1,0001 | - 1,00001 | - 1,000001 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| y | 41 | 401 | 4001 | 40001 | 400001 | 4000001 |
| x | - 0,9 | - 0,99 | - 0,999 | - 0,9999 | - 0,99999 | - 0,999999 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| y | - 39 | - 399 | - 3999 | - 39999 | - 399999 | - 3999999 |
Cuando x → - 1 + , entonces f ( x ) → - ∞
Cuando x → - 1 - , entonces f ( x ) → + ∞
Por tanto, la función tiene una asíntota vertical en x = - 1.
Estudiamos ahora si la función tiene o no asíntota horizontal.
| x | 1 | 10 | 100 | 1000 | 10000 | 100000 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| y | - 1 | 0,6363 | 0,9604 | 0,9960 | 0,9996 | 0,9999 |
| x | - 1 | - 10 | - 100 | - 1000 | - 10000 | - 100000 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| y | 1,4444 | 1,0404 | 1,0040 | 1,004 | 1,00004 |
Cuando x → + ∞ , entonces f ( x ) → 1
Cuando x → - ∞ , entonces f ( x ) → 1
La función tiene una asíntota horizontal en y = 1
Una vez determinada sus asíntotas, construimos una tabla de valores y la representamos gráficamente.
| x | - 5 | - 3 | - 2 | 0 | 1 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| y | 2 | 3 | 5 | - 3 | - 1 | 0 |
Dibuja la siguiente hipérbola y sus asíntotas y calcula la constante k : y = (2x - 5) / (x - 2)
Podemos expresar la función original de la siguiente forma :
En primer lugar estudiamos las asíntotas de la función.
El punto x = 2 no pertenece al dominio de la función. Estudiamos ahora la tendencia de la función por cada uno de los lados del punto x = 2.
| x | 2,1 | 2,01 | 2,001 | 2,0001 | 2,00001 | 2,000001 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| y | - 8 | - 98 | - 998 | - 9998 | - 99998 | - 999998 |
| x | 1,9 | 1,99 | 1,999 | 1,9999 | 1,99999 | 1,999999 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| y | 12 | 102 | 1002 | 10002 | 100002 | 1000002 |
Cuando x → 2 + , entonces f ( x ) → - ∞
Cuando x →2 - , entonces f ( x ) → + ∞
Por tanto, la función tiene una asíntota vertical en x = 2.
Estudiamos ahora si la función tiene o no asíntota horizontal.
| x | 1 | 10 | 100 | 1000 | 10000 | 100000 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| y | 3 | 1,875 | 1,9897 | 1,9989 | 1,9998 | 1,9999 |
| x | - 1 | - 10 | - 100 | - 1000 | - 10000 | - 100000 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| y | 2,3333 | 2,0833 | 2,0098 | 2,0009 | 2,00009 | 2,0000009 |
Cuando x → + ∞ , entonces f ( x ) →2
Cuando x → - ∞ , entonces f ( x ) → 2
La función tiene una asíntota horizontal en y = 2
Una vez determinada sus asíntotas, construimos una tabla de valores y la representamos gráficamente.
| x | - 2 | 0 | 1 | 2,5 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| y | 2,25 | 2,5 | 3 | 0 | 1 | 1,5 |
Escribe la fórmula de la siguiente hipérbola:
Por la gráfica observamos que la función es decreciente, por lo tanto tenemos que k > 0 .
Como la gráfica es una hipérbola equilátera, cada punto de la gráfica forma con el punto donde se cortan las asíntotas, un rectángulo de área k unidades cuadradas.
Por lo tanto, tenemos que k = 3 .
Además, la gráfica tiene una asíntota vertical y = 4 y una asíntota horizontal en x = 0 .
Es decir, la gráfica es una traslación horizontal hacía la derecha en cuatro unidades de la función f(x) = 3/x .
Por lo tanto, la función que buscamos es f(x - 4) :
Escribe la fórmula de la siguiente hipérbola:
Por la gráfica observamos que la función es creciente, por lo tanto tenemos que k < 0 .
Como la gráfica es una hipérbola equilátera, cada punto de la gráfica forma con el punto donde se cortan las asíntotas, un rectángulo de área k unidades cuadradas.
Por lo tanto, tenemos que k = - 1 .
Además, la gráfica tiene una asíntota vertical y = - 2 y una asíntota horizontal en x = - 3 .
Es decir, la gráfica es una traslación horizontal hacía la izquierda en dos unidades y vertical hacía abajo en tres unidades de la función f(x) = - 1/x .
Por lo tanto, la función que buscamos es f(x + 2) - 3 :
