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Ejercicios resueltos del binomio de Newton

Fórmulas y triángulo de Tartaglia o triángulo de Pascal


( a + b ) m = ( m 0 )  a m  b 0  + ( m 1 )  a  1  b 1  + ... + ( m  1 )  a 1  b  1  + ( m m )  a 0  b m


T n + 1  = ( m n )  a m - n    b n


( m n ) =  m! n! (  n )!




Desarrollar aplicando el binomio de Newton:

1)   (x - 3)5

Aplicamos la fórmula del binomio de Newton   (a + b)n.

Donde   a = x ,   b = -3   y   n =5

binomio de newton


2)   (3x - 2y)6



binomio_newton


Desarrollar aplicando el binomio de Newton:


1)   ( - 1 - 3x)9


Aplicamos la fórmula del binomio de Newton   (a + b)n.

Donde   a = - 1 ,   b = - 3x   y   n = 9.


( - 1 - 3x ) 9 =  ( 9 0 ) ( - 1 ) 9  + ( 9 1 ) ( - 1 ) 8 ( - 3x ) + ( 9 2 ) ( - 1 ) 7 ( - 3x ) 2  +  ( 9 3 ) ( - 1 ) 6 ( - 3x ) 3 ( 9 4 ) ( - 1 ) 5 ( - 3x ) 4  + ( 9 5 ) ( - 1 ) 4 ( - 3x ) 5  + ( 9 6 ) ( - 1 ) 3 ( - 3x ) 6  + ( 9 7 ) ( - 1 ) 2 ( - 3x ) 7  + ( 9 8 ) ( - 1 ) 1 ( - 3x ) 8  + ( 9 9 ) ( - 3x ) 9  = = - ( 9 0 ) - ( 9 1 )3x - ( 9 2 ) 3 2 x 2  - ( 9 3 ) 3 3 x 3 ( 9 4 ) 3 4 x 4  - ( 9 5 ) 3 5 x 5  - ( 9 6 ) 3 6 x 6  - ( 9 7 ) 3 7 x 7  - ( 9 8 ) 3 8 x 8  - ( 9 9 ) 3 9 x 9  = = - 1 - 93x - 36 3 2 x 2  - 84 3 3 x 3  - 126 3 4 x 4  - 126 3 5 x 5  - - 84 3 6 x 6  - 36 3 7 x 7  - 9 3 8 x 8  - 3 9 x 9  = = - 1 - 27x - 324 x 2  - 2268 x 3  - 10206 x 4  - 30618 x 5  - 61236 x 6  - 78732 x 7  - 59049 x 8  - 19683 x 9  



Los cálculos de los coeficientes de los anteriores números combinatorios son los siguientes:


numeros_combinatorios


Desarrollar aplicando el binomio de Newton:


1)    ( x 2 2  -  2 x ) 6


Aplicamos la fórmula del binomio de Newton   (a + b)n.


Donde   a = x 2 2  ,   b = 2 x    y   n = 6.


binomio_newton


Desarrollar aplicando el binomio de Newton:


1)    ( 2 x  +  2x ) 8


Aplicamos la fórmula del binomio de Newton   (a + b)n.


Donde   a = 2 x  ,   b = 2x    y   n = 8.



binomio_newton


Los cálculos de los coeficientes de los anteriores números combinatorios son los siguientes:


numereos_combinatorios


Hallar un término del desarrollo del binomio de Newton:


1)   Hallar el término quinto del desarrollo de   (1 + y)12



Recordemos la fórmula para calcular el término general del binomio de Newton:


T n+1  = ( m n )  a m-n  b n



Calculamos el término quinto utilizando la fórmula para   a = 1 ,   b = y ,   n = 4.



termino_general




2)   Hallar el término séptimo del desarrollo de  (2 + 3x)9


Calculamos el término séptimo utilizando la fórmula para   a = 2 ,   b = 3x ,   n = 6.


termino_general


3)   Hallar el término octavo del desarrollo   (2x - y)10


Calculamos el término octavo utilizando la fórmula para   a = 2x ,   b = - y ,   n = 7.


termino_general


Hallar el término medio de los desarrollos siguientes:


1)   (x + y)10


El desarrollo anterior posee 11 términos   (m = 10).

Por lo tanto, el término medio coincide con el término sexto.

Es decir, hallamos el término sexto para   a = x ,   b = y ,   n = 5.



termino_medio


2)    ( 2x -  1 2x ) 16


El desarrollo anterior posee 17 términos   (m = 16).

Por lo tanto, el término medio coincide con el término noveno.

Es decir, hallamos el término sexto para   a = 2x ,   b = 1 2x  ,   n = 8.



termino_medio



1)   Hallar el término que contiene a la potencia   x6   en el desarrollo de   (2x + 5)15.


T n+1  = ( 15 n )  ( 2x ) 15-n 5 n        15 - n = 6


Por lo tanto,   n = 9 , es decir, buscamos el término décimo:


T 10  = ( 15 9 )  ( 2x ) 6 5 9  = ( 15 9 )  2 6 5 9 x 6


2)   Hallar el término de grado 5 y el término independiente en el desarrollo de    ( x 2  -  2 x 3 ) 15


El término general del desarrollo es:


T n+1  = ( 15 n )  ( x 2 ) 15 - n ( 2 x 3 ) n  = ( 15 n )  x 30 - 2n ( - 2 ) n x 3n = =( 15 n )  ( - 2 ) n x 30 - 2n - 3n =( 15 n )  ( - 2 ) n x 30 - 5n



Para hallar el término de grado 5, se tiene que cumplir que:

30 - 5n = 5

Por lo tanto   n = 5   y el término es:

( 15 5 )  ( - 2 ) 5 x 5  = - 96096 x 5


Por otra parte, para calcular el término independiente se tiene que cumplir que:


30 - 5n = 0


Es decir,   n = 6   y el término es:


( 15 6 )  ( - 2 ) 6 x 0  = 320320



3)   Calcular el término en el que el exponente de   a   y el exponente de   b   son iguales en el desarrollo de   (a - b2)15


El término general del desarrollo es el siguiente:


T n+1  = ( 15 n )  a 15 - n ( - b 2 ) n  = ( 15 n )  a 15 - n ( -1 ) n b 2n  


Para que el exponente de los términos   a   y   b   sean iguales, se tiene que cumplir que:


15 - n = 2n


Es decir,   n = 5


Por lo tanto el término que buscamos es:


 ( 15 5 )  a 10 ( -1 ) 5 b 10  =  - ( 15 5 )  a 10 b 10


Cuadrados y cubos de un polinomio:


1)   (2a - 3b + 4c)2


Aplicamos la propiedad asociativa.


(2a - 3b + 4c)2 = [(2a - 3b) + 4c]2 = (2a - 3b)2 + 2(2a - 3b)4c + (4c)2 = (2a)2 - 2(2a)(3b) + (3b)2 + 16ac - 24bc + (4c)2 = 4a2 - 12ab + 9b2 + 16ac - 24bc + 16c2 = 4a2 + 9b2 + 16c2 - 12ab + 16ac - 24bc



O aplicamos la fórmula:   (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc


(2a - 3b + 4c)2 = (2a)2 + (-3b)2 + (4c)2 + 2(2a)(-3b) + 2(2a)(4c) + 2(-3b)(4c) = 4a2 + 9b2 + 16c2 - 12ab + 16ac - 24bc



2)    ( 1 x  + x + x 2 ) 2


( 1 x  + x + x 2 ) 2  =  ( 1 x ) 2  + x 2  +  ( x 2 ) 2  + 2( 1 x )( x ) + 2( 1 x )( x 2 ) + 2( x )( x 2 ) = 1 x 2  + x 2  + x 4  + 2 + 2x + 2x 3  = x 4  + 2x 3  + x 2  + 2x + 2 +  1 x 2



3)   (2 + 3x - 5x2)3


(2 + 3x - 5x2)3 = (2 + 3x - 5x2) (2 + 3x - 5x2)2 = (2 + 3x - 5x2) (4 + 9x2 + 25x4 + 12x - 20x2 - 30x3) = (2 + 3x - 5x2) (25x4 - 30x3 - 11x2 + 12x + 4) = -125x6 + 225x5 + 15x4 - 153x3 - 6x2 + 36x + 8



4)   (1 + x + x2 + x3)3


(1 + x + x2 + x3)3 = [(1 + x) + (x2 + x3)]3 = (1 + x)3 + 3(1 + x)2(x2 + x3) + 3(1 + x)(x2 + x3)2 + (x2 + x3)3 = 1 + 3x + 3x2 + x3 + 3x2 + 3x3 + 3x4 + 3x5 + 3x7 + 9x6 + 9x5 + 3x4 + x6 + 3x7 + 3x8 + x9 = x9 + 3x8 + 6x7 + 10x6 + 12x5 + 6x4 + 4x3 + 6x2 + 3x + 1